方べきの定理を完全攻略！公式の覚え方と共通テスト裏ワザ解説

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幾何学の美しさは、極めてシンプルな原則に収約される点にある。方べきの定理には一見すると3つの異なる図形パターンが存在するが、根底にある本質はたった一つ。「点Pを通る2直線が円と交わるとき、交点までの距離の積は常に一定である」という事実だ。

1つ目は、円の内部で2弦が交差するパターン。点Pで交わる2本の弦ABとCDがあるとき、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成立する。2つ目は、円の外部の点Pから2本の割線を引くパターン。この場合も全く同じ数式 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成立する。そして3つ目が、円の外の点Pから接線PTと割線PABを引くパターンであり、$PT^2 = PA \cdot PB$ と表現される。

丸暗記から脱却するコツは、常に「交点Pから円上の各点へ伸びるベクトルの長さの積」という視点を持つことだ。接点Tの場合は「同じ点に2回重ねて到達している」と直感的に捉えれば、$PT \cdot PT = PT^2$ となり、1つの基本形からすべてを統一的に理解できるようになる。