サイン・コサイン・タンジェントのグラフ攻略！周期と平行移動の極意

サイン・コサイン・タンジェントのグラフ攻略！周期と平行移動の極意の総合ガイドを解説します。専門的な知識が詰まっています。

習得した解法ロジックを定着させるため、頻出パターンの実践問題で確認します。

【例題1】関数 $y = 2 \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ の周期を求め、グラフを描きなさい。

【解説】
まず、式を $x$ の係数 $2$ でくくり出します。
$y = 2 \sin 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$

・振幅：$2$
・周期：$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$
・平行移動：$y = 2 \sin 2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $+\frac{\pi}{6}$、$y$ 軸方向に $+1$
・値域：中心 $y = 1$ に対し上下幅 $2$ なので、最小値 $1 - 2 = -1$、最大値 $1 + 2 = 3$

作図は、中心軸 $y=1$ 上の点 $\left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$ をスタート地点とし、周期 $\pi$ を4等分した間隔 $\frac{\pi}{4}$ ごとに点を打ちます。
$\rightarrow$ $\left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$［開始］ $\rightarrow$ $\left(\frac{5\pi}{12}, 3\right)$［山］ $\rightarrow$ $\left(\frac{2\pi}{3}, 1\right)$［中心］ $\rightarrow$ $\left(\frac{11\pi}{12}, -1\right)$［谷］ $\rightarrow$ $\left(\frac{7\pi}{6}, 1\right)$［1周期終了］
これらを滑らかに結ぶことで正確なグラフが完成します。

【例題2】関数 $y = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ の周期と漸近線の方程式を求めなさい。

【解説】
同様に $x$ の係数 $\frac{1}{2}$ でくくります。
$y = \tan \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$

・周期：タンジェントの基本周期 $\pi$ を $\frac{1}{2}$ で割るため、$T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$
・漸近線の求め方：タンジェントのカッコ内全体を $\frac{\pi}{2} + n\pi$ と置くのが最も確実です。
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi$
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$ は整数）

この代数的な算出アプローチを使えば、漸近線の位置で減点されるリスクをゼロに抑えられます。