扇形の中心角の求め方｜公式丸暗記を脱する裏ワザと逆算の極意

扇形の中心角の求め方｜公式丸暗記を脱する裏ワザと逆算の極意に関する話題のニュースを分かりやすく解説します。関心のある方は必見です。

高校入試や定期テストの図形問題で毎年のように出題される最重要テーマが、円錐の展開図と中心角の関係です。円錐を展開すると、側面は「扇形」、底面は「円」になります。

このとき、側面である扇形の弧の長さは、底面の円周の長さとぴったり一致します。側面を構成する扇形の半径を「母線の長さ $R$」、底面の円の半径を「$r$」と置くと、以下の等式が成り立ちます。

$$2\pi R \times \frac{a}{360} = 2\pi r$$

両辺を $2\pi$ で割り、中心角 $a$ について整理すると、次の劇的な短縮公式が導出されます。

$$a = 360^\circ \times \frac{r}{R} \quad \left(360^\circ \times \frac{\text{底面の半径}}{\text{母線の長さ}}\right)$$

例えば「母線の長さが $12\text{cm}$、底面の半径が $3\text{cm}$ の円錐」があった場合、側面の中心角は $360^\circ \times \frac{3}{12} = 360^\circ \times \frac{1}{4} = 90^\circ$ と、暗算レベルのわずか数秒で算出できます。これを知っているだけで、テスト本番での見直し時間や他の難問に充てる時間を大きく生み出すことが可能になります。