3乗公式の展開・因数分解を攻略！符号の覚え方と使い分けを完全解説

話題沸騰中の 3乗公式の展開・因数分解を攻略！符号の覚え方と使い分けを完全解説について、主要な情報を分かりやすく掲載しています。

大学入試や模試で頻繁に出題されるのが、3乗の対称式公式を用いた値の計算問題です。対称式とは、$a$ と $b$ を入れ替えても値が変わらない式のことで、すべての対称式は「基本対称式（$a+b$ と $ab$）」だけで表すことができます。

展開公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の中央2項を $3ab(a+b)$ と共通因数でくくると、次のように変形できます。
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

ここから $a^3 + b^3$ について解くことで、極めて重要な変形公式が得られます。
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

同様に、引き算の形も導けます。
$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$

例えば、「$x + y = 4$、$xy = 2$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ」という問題が出題された場合、因数分解公式を使うよりもこの対称式の変形を使う方が圧倒的に速く解けます。
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ に数値を代入すると、
$x^3 + y^3 = 4^3 - 3(2)(4) = 64 - 24 = 40$
このように、基本対称式の値さえ分かっていれば、複雑な計算を経由せずに一瞬で解に到達できます。