双曲線の媒介変数表示を完全攻略！三角関数と双曲線関数の使い分け術

双曲線の媒介変数表示を完全攻略！三角関数と双曲線関数の使い分け術の要点や背景を丁寧にまとめました。全体像を一目で把握できます。

大学数学や難関大の誘導問題で威力を発揮するのが、双曲線関数sinhとcoshの媒介変数表示です。双曲線関数は以下のように定義されます。

$$\cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}, \quad \sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$$

この2つの関数には、定義から直接導かれる重要な恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ が存在します。これにより、双曲線の右半平面（$x \ge a$）は次のようにスマートに媒介変数表示できます。

【双曲線の媒介変数表示（双曲線関数型）】
・$x = a\cosh t$
・$y = b\sinh t$
（$t$ はすべての実数）

三角関数表示（$\sec\theta, \tan\theta$）と比べた最大のメリットは、パラメータ $t$ が実数全体を動くとき、定義域の不連続点が存在しない点です。微分公式も $(\cosh t)' = \sinh t$、$(\sinh t)' = \cosh t$ と極めて対称性が高く、物理学の懸垂線（カテナリー）や相対論の計算でも標準的に使われています。