【2026年最新】3乗の公式一覧と符号の覚え方｜因数分解の裏ワザ

【2026年最新】3乗の公式一覧と符号の覚え方｜因数分解の裏ワザの詳細解説をご紹介します。役立つ情報が満載です。

東大・京大をはじめとする難関国公立大学や早慶の理系入試において、頻繁に合否の分かれ目となるのが「3文字の3乗公式」です。

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

この長い数式は、さらに後半のカッコを以下のように平方完成の形に変形できるという極めて重要な数学的性質を持っています。

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\}$$

実数 $a, b, c$ において、2乗の和は常に0以上となるため、もし $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$ ならば、$a=b=c$ が直ちに導かれます。この性質を利用した証明問題や整数問題は難関大の定番です。

【入試実践パターン】$a+b+c=0$ のとき

もし問題の前提条件として $a+b+c=0$ が与えられている場合、公式の右辺全体が 0 になります。その結果、以下の劇的にシンプルな関係式が成立します。

$$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$

複雑な高次方程式の因数分解や式の値を求める際、この条件反射を身につけておくだけで、複雑な数式を一瞬で処理できる強力な武器になります。