3乗の公式で符号を間違えない！覚え方と因数分解・展開を完全攻略

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公式の丸暗記に頼らない数学的思考を身につけるには、3乗公式の証明と背景理論を理解することが近道です。

分配法則による地道な証明

$(a+b)^3$ は、$(a+b)(a+b)^2$ として計算できます。

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

同類項をまとめる過程で、$2a^2b + a^2b = 3a^2b$、$ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$ となり、係数「3」が自然に導かれることがわかります。

パスカルの三角形と二項定理の関係

高校数学で学ぶ二項定理とパスカルの三角形を使えば、3乗にとどまらず4乗・5乗の展開係数も視覚的に導けます。

段0 (0乗): 1 段1 (1乗): 1 1 段2 (2乗): 1 2 1 段3 (3乗): 1 3 3 1 ← (a+b)³ の係数！

上の段の隣り合う2つの数を足すと下の数になるというパスカルの三角形の性質から、3乗の係数が「1, 3, 3, 1」になることは一目瞭然です。二項定理における組み合わせの数 $_3\mathrm{C}_0=1, \ _3\mathrm{C}_1=3, \ _3\mathrm{C}_2=3, \ _3\mathrm{C}_3=1$ と完全に一致しています。