円 方程式の完全攻略法！標準形・一般形の変形と接線の超速解法

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高校数学の定期テストや入試で最初に問われるのが、円の方程式の表現形式の相互変換である。問題用紙に提示される形は主に「標準形」と「一般形」の2種類が存在する。

標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ は、中心の座標 $(a, b)$ と半径 $r$ が一目でわかる「図形的な情報が丸見えの形」だ。一方で、展開された一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ は一見すると中心も半径も分からない。

一般形から中心と半径を割り出すための必須テクニックが「xとyについての二重の平方完成」である。手順はシンプルだ。まず $x^2 + lx$ を $(x + \frac{l}{2})^2 - \frac{l^2}{4}$ へ、$y^2 + my$ を $(y + \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4}$ へとそれぞれ平方完成する。定数項を右辺に集約し整理すれば、瞬時に中心 $(-\frac{l}{2}, -\frac{m}{2})$ と半径が手に入る。ただし右辺の計算値が $0$ 以下になった場合、それは円として成立しない点や解なしとなるトラップが存在するため、数値の正負チェックは絶対の鉄則だ。