扇形の中心角の求め方を3秒で攻略！弧や面積から逆算する裏ワザ

扇形の中心角の求め方を3秒で攻略！弧や面積から逆算する裏ワザに関する注目トピックを速報でお届けします。関心のある方は必見です。

中学数学の図形分野において、定期テストや高校入試で毎年のように出題されるのが円錐の展開図と中心角の計算です。ネット上の解説記事では「側面の中心角を求めるために、まず側面の弧の長さを出して、次に側面のおおもとの円周を出して…」と何工程もの手順を紹介しているものが散見されます。

しかし、実戦においてそのような長大な計算を行うのは時間の浪費です。円錐の側面となる扇形の中心角は、次のシンプルな関係式で完全に処理できます。

【円錐の側面中心角を求める決定版公式】
$$\text{中心角} = 360^\circ \times \frac{\text{底面の半径 } r}{\text{母線の長さ } R}$$

なぜこの式が成り立つのかという理屈も明快です。側面の扇形の「弧の長さ」は、底面の円の「円周」とぴったり重なります。側面の扇形半径は母線 $R$ なので、側面のおおもとの円周は $2\pi R$、底面の円周は $2\pi r$ です。
全体に対する割合は $\frac{2\pi r}{2\pi R} = \frac{r}{R}$ となり、$\pi$ も $2$ も綺麗に消去されて「母線分の底面半径」だけが残ります。

「母線12cm、底面の半径3cmの円錐」であれば、中心角は $360^\circ \times \frac{3}{12} = 360^\circ \times \frac{1}{4} = 90^\circ$ となり、問題用紙を見た瞬間に答えを導くことが可能です。