三角形の内接円の半径を瞬殺！公式の証明と直角三角形の裏ワザ解説

三角形の内接円の半径を瞬殺！公式の証明と直角三角形の裏ワザ解説の全体像を分かりやすくまとめてご紹介します。

高校数学の「高校数学 数学I 三角比」の単元で、受験生が最も混同しやすいのが「内接円の半径（$r$）」と「外接円の半径（$R$）」の取り扱いです。両者は図形的な意味合いも、使用する核となる定理も明確に異なります。

大手予備校の模試データ分析でも、問題文の「外接円」を「内接円」と読み違えたり、正弦定理の式に$r$を代入して失点するケースが毎年後を絶ちません。両者の違いを以下の比較表で整理して頭に定着させましょう。

項目内接円（半径 $r$）外接円（半径 $R$）編集部の見解・評価中心の定義内心（$I$）
3つの内角の二等分線の交点外心（$O$）
3辺の垂直二等分線の交点作図原理の違いを意識することで混同を完全に防止可能。主軸となる公式$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = 2R$内接円は「面積」、外接円は「向かい合う角と辺」に直結する。面積との連動関係$r = \frac{2S}{a+b+c}$$R = \frac{abc}{4S}$面積$S$を介して$r$と$R$の比率を問う難関大頻出の誘導に対応できる。計算の所要ステップ余弦定理 $\rightarrow \sin \rightarrow$ 面積 $S \rightarrow r$余弦定理 $\rightarrow \sin \rightarrow$ 正弦定理 $\rightarrow R$前半の $\sin$ 算出までは同一ルート。最終分岐のみが異なる。