座標から三角形の面積を瞬時に導く裏ワザ！靴ひもの公式と外積を解説

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平面から1次元上がった3次元空間、すなわち $A(x_1, y_1, z_1)$、$B(x_2, y_2, z_2)$、$C(x_3, y_3, z_3)$ の3点が与えられた場合、多くの受験生が途方に暮れます。教科書通りの正攻法で進めると、2つのベクトルの大きさと内積を計算し、$\cos\theta$ を割り出し、相互関係から $\sin\theta$ を求め、ようやく面積計算に至るという長大な道のりを辿ることになります。

しかし、大学数学で扱われる「ベクトル積」を背景にした外積による三角形の面積の手法を身につけておけば、空間座標であってもわずか1分以内で求値が可能です。

まず、平面と同様にいずれか1点（例えば点 $A$）を原点に平行移動させ、2つの位置ベクトル $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ と $\vec{c} = (c_x, c_y, c_z)$ を作成します。この2つのベクトルの外積 $\vec{b} \times \vec{c}$ は、両方のベクトルに垂直なベクトルであり、その「大きさ（ノルム）」は2つのベクトルが作る平行四辺形の面積に完全一致します。外積ベクトルの各成分は、サラスの公式に準じた2×2の行列式を3つ並べることで機械的に導出されます。

$$\vec{b} \times \vec{c} = (b_y c_z - b_z c_y, \;\; b_z c_x - b_x c_z, \;\; b_x c_y - b_y c_x)$$

三角形の面積はこの平行四辺形の半分であるため、空間座標の三角形面積の求め方は次の統一式として完結します。

$$S = \frac{1}{2}\sqrt{(b_y c_z - b_z c_y)^2 + (b_z c_x - b_x c_z)^2 + (b_x c_y - b_y c_x)^2}$$

内積や三角比の変形を一切挟まず、各座標の掛け算と引き算のみを平方和に放り込むだけで面積が得られます。理工系の実務や3Dグラフィックスエンジンの内部処理においても、この外積による三角形求積アルゴリズムが業界標準の計算基盤として採用されています。