三角形の面積公式一覧！基礎から高校数学・裏ワザの使い分けまで完全解説

三角形の面積公式一覧！基礎から高校数学・裏ワザの使い分けまで完全解説の詳細解説を解説します。役立つ情報が詰まっています。

大学入学共通テストをはじめとするマークシート式試験や、スピードが要求される私立大入試において、知っているだけで1問あたり2〜3分の短縮をもたらすテクニックが存在します。それが三角形の面積を求める裏ワザ解法まとめとして受験界で語り継がれる、座標とベクトルの公式群です。

第1の武器は、座標平面上の3点から三角形の面積を求める公式です。3頂点のうち1つが原点 $(0,0)$ にあり、他の2点が $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ である場合、その面積は「外側の座標と内側の座標をたすき掛けして引く」だけで求まります。

$S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

もし原点を通らない一般的な3点 $P(2, 3), Q(5, 7), R(1, 8)$ であっても恐れる必要はありません。点 $P$ が原点 $(0,0)$ に重なるよう、全体を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動させればよいのです。移動後の座標は $P'(0,0), Q'(3, 4), R'(-1, 5)$ となり、瞬時に以下の計算で解答に到達します。

$S = \frac{1}{2}|(3 \times 5) - (4 \times (-1))| = \frac{1}{2}|15 - (-4)| = \frac{19}{2}$

第2の武器が、新課程数学Cの平面・空間ベクトルで登場するベクトルによる三角形の面積公式です。2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が張る三角形の面積は、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ の恒等式を巧みに代入することで、内積を用いた形に帰着されます。

$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$

このベクトルの公式に成分 $\vec{a}=(x_1, y_1), \vec{b}=(x_2, y_2)$ を代入して展開・因数分解を行うと、前述の座標平面の公式 $S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ が綺麗に導出されます。難解に見える高校数学の公式群が、背後で一本の強固な論理の糸で結ばれていることが実感できる象徴的な事例です。