単振動の運動方程式を完全攻略｜なぜあの形？立式から周期導出まで

単振動の運動方程式を完全攻略｜なぜあの形？立式から周期導出までとは一体何なのか? 専門的な分析を整理してお届けします。

Q1：鉛直ばね振り子で、つり合いの位置を原点にすると重力を無視できるのはなぜですか？
A1：自然長からの伸びを $x_0$、つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、全体の力は $F = mg - k(x_0 + x)$ となります。つり合いの条件より $mg - k x_0 = 0$ であるため、式を展開すると重力 $mg$ と初期の弾性力 $-k x_0$ が完全に相殺され、$F = -kx$ だけが残るためです。つまり「重力の影響はすでにつり合いの位置のズレとして吸収された」と見なせます。

Q2：単振り子の運動方程式を立てる際、向心方向ではなく接線方向の運動方程式を立てるのはなぜですか？
A2：単振り子の軌道は円弧であり、質点の速度が変化する方向（振動する方向）は常に軌道の「接線方向」だからです。向心方向の力（糸の張力 $S$ と重力の動径成分）は進行方向を変えるための向心力として働き、運動の加減速（振動）を司っているのは接線方向成分の重力 $-mg \sin\theta$ です。

Q3：変位 $x = A \sin(\omega t)$ と $x = A \cos(\omega t)$ はどちらを使えばよいですか？
A3：スタート時（$t=0$）の物体の位置によって使い分けます。振動中心（原点）から初速度を与えてスタートした場合は $\sin(0) = 0$ となる $x = A \sin(\omega t)$ を、端（最大振幅の位置）まで引っ張って静かに手を放した場合は $\cos(0) = 1$ となる $x = A \cos(\omega t)$ を選択するのが最も自然で計算が簡潔になります。