三角錐の表面積の求め方を徹底解説！展開図と裏ワザ公式で克服

三角錐の表面積の求め方を徹底解説！展開図と裏ワザ公式で克服の総合ガイドをご紹介します。役立つ情報が詰まっています。

インプットした知識を定着させるために、典型的な2つの練習問題に挑戦してみましょう。

【基本問題（小学生〜中1レベル）】直角三角形を底面とする三角錐

【問題】
底面が底辺 $4\text{ cm}$、高さ $3\text{ cm}$ の直角三角形で、頂点から底面に垂直に伸びる高さが $6\text{ cm}$ の三角錐があります。側面がすべて直角三角形（底辺 $4\text{ cm}$・高さ $6\text{ cm}$、底辺 $3\text{ cm}$・高さ $6\text{ cm}$、底辺 $5\text{ cm}$・高さ $6\text{ cm}$）であるとき、この三角錐の表面積を求めなさい。

【解説と解答】
4つの面をすべて個別に計算して合算します。

• 底面（直角三角形）：$4 \times 3 \div 2 = 6\text{ cm}^2$
• 側面1：$4 \times 6 \div 2 = 12\text{ cm}^2$
• 側面2：$3 \times 6 \div 2 = 9\text{ cm}^2$
• 側面3：$5 \times 6 \div 2 = 15\text{ cm}^2$

表面積 ＝ $6 + 12 + 9 + 15 = \mathbf{42\text{ cm}^2}$ となります。

【応用問題（中3入試レベル）】正四面体の表面積

【問題】
1辺の長さが $8\text{ cm}$ である正四面体の表面積を求めなさい。

【解説と解答】
正四面体は1辺 $8\text{ cm}$ の正三角形4枚で構成されています。

《正攻法での導出》
正三角形の頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺は半分（$4\text{ cm}$）になります。
三平方の定理より、正三角形の高さ $h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$。
1枚の正三角形の面積 ＝ $8 \times 4\sqrt{3} \div 2 = 16\sqrt{3}\text{ cm}^2$。
面が4枚あるため、表面積 ＝ $16\sqrt{3} \times 4 = \mathbf{64\sqrt{3}\text{ cm}^2}$。

《裏ワザ公式を用いた場合》
公式 $S = \sqrt{3}a^2$ に $a = 8$ を代入：
$S = \sqrt{3} \times 8^2 = \mathbf{64\sqrt{3}\text{ cm}^2}$（わずか3秒で計算完了）。